経済学

【徹底解説】異時点間の消費理論【ミクロ経済学】

【徹底解説】異時点間の消費理論【ミクロ経済学】

今日は異時点間の消費理論について解説していきます。

本記事の内容

  • 異時点間の消費理論
  • その解法

異時点間の消費理論

前回は一期間の消費理論しか考えませんでしたが、今回は二期間の消費理論の解説をしていきます。

異時点間の消費理論の考え方

例えば無人島にりんごを持って行って生活したとしましょう。この個人はりんごを一期間ですべて食べることもできますが、一期目では食べずに埋めることでに君にもっと多くのりんごを食べることもできます。ここでは食べることが消費で埋めることが貯蓄です。

所得がないケース

ある個人は自己の資金を二期間に分けて消費するとします。ただし、所得はなく二期間で資金を使い切るとします。
この時第二期の消費C2の予算制約式を求めてください。

第一期の消費C1=Y(資金)-S(貯蓄)で表されますね。
第二期の消費C2=(1+r)*Sで表されます。
rは利子率です。りんごを埋めた場合は埋めた以上のりんごが返ってくるのでその収益こそが利子率です。

これらの共通項Sを消すと
予算制約式Y=C1+C2/(1+r)

所得があるケース

第一期において得た100の所得を2期間にわたって支出するとします。
このとき効用関数はU=C1C2で表されるとしましょう。個人の第一期における利子率は20%です。このときの第一期の貯蓄額を求めなさい。

まずは二期目の予算制約線を求めましょう

第二期の予算制約式は所得100から第一期に消費した分を引いたものに、利子が付いたものなので
C2=(1+r)*(100-C1)
問題文よりr=0.2を当てはめると
C2=120-1.2C1

次に効用関数U=C1C2に予算制約式を代入し微分して0とおきます

U=C1(120-1.2C1)
U=120C1-1.2C1^2
U’=’120C1-1.2C1^2)’=0
C1=50
第一期の消費が50なので第二期の消費も50になりますね。

課税が入るケース

100の所得を二期間にわたって支出します。その個人の効用関数はU=C1C2で表され、第一期における貯蓄には5%の利子が付くとするとき、第一期の貯蓄はいくらになるでしょうか。
但し、第一期と第二期の利子収入には10%の所得税が課されるとします。

10%の所得税を求めるには

課税前の所得から10%か税額を控除する方法
課税前の所得を90%にする方法

の二つがありますね。

それでは求めていきましょう

まずは第二期目の予算制約線を求めていきます

C2=(1+r)*(100-C1)
r=0.05より
C2=1.05(100-C1)

ここに所得税を導入しましょう

まず利子収入に10%の所得税が課されるので10%がひかれて90%になり、0.05*0.9=0.045
所得に10%の所得税が課されるので10%がひかれて90%になり、100*0.9=90

よってC2=1.045(90-C1)
展開すると、C2=94.05-1.045C1が求められ、予算制約式が完成しました。

次に効用関数に予算制約式を代入して微分して0とおきます。

U=C1(94.05-1.045C1)
U=94.05C1-1.045C1^2
U’=(94.05C1-1.045C1^2)’=0
C1=45
第一期の消費は45であるので課税後の所得90からひいて貯蓄は45ですね